جداسازی فوق خطی مجموعه های رادیان و هم رادیان

مطالعه ی خواص جداسازی مجموعه های رادیان (ستاره گون در مبدأ) در سالهای اخیر مورد توجه روزافزونی قرار گرفته است، ابتدا در فضاهای اقلیدسی [14 و 20] و فضاهای با بعد نامتناهی [23 و 24] بررسی شده اند. در آنجا نشان داده شده که هر نقطه ی که به مجموعه ی بسته و رادیان (در یک فضای نرمدار ) تعلق ندارد را می توان با یک تابع فوق خطی پیوسته ی تعریف شده روی تفکیک کرد، به طوری که و به ازای هر . این نتیجه را می توان این طور بیان کرد که هر مجموعه ی رادیان و بسته ی ، اشتراک تمام مجموعه های تراز پایین و شامل است که فوق خطی است. در [24]، رهیافت مشابهی به منظور پرداختن به حالتی که اشتراک مجموعه های تراز اکید است تعمیم داده شده است. برای تشابه با حالت محدب، این مجموعه ها را به طور یکدست رادیان می نامند و با خاصیت مخروط مماس بر در نقاط مرزی مشخص می شوند. در این پایان نامه مطالعه ی خود را با در نظر گرفتن مجموعه های تراز و از توابع فوق خطی پیوسته ، توسعه می دهیم. این مجموعه ها هم رادیان هستند، یعنی متمم مجموعه های رادیان، به وسیله ی اشتراک آنها، بعضی از زیر رده های مجموعه های هم رادیان را مشخص سازی کنیم، یعنی مجموعه های هم رادیان بسته و مجموعه های به طور یکدست هم رادیان. مطالعه ی این خواص تفکیکی را می توان به روش یکنواخت به منظور تأکید بر شکل هندسی تفکیک یک نقطه از یک مجموعه توضیح داد. با توجه به این رهیافت، نشان می دهیم مجموعه های هم رادیان محدب را می توان برای تفکیک و جداسازی نقاط از مجموعه های رادیان به کار برد و همچنین مجموعه های رادیان محدب را برای تفکیک نقاط از مجموعه های هم رادیان مورد استفاده قرار می گیرند. به بیان دقیق تر، یک مجموعه ی و نقطه ی را در نظر بگیرید. اگر رادیان (به ترتیب، هم رادیان) باشد، آنگاه می توانیم یک مجموعه ی هندسی محدب و هم رادیان (به ترتیب، رادیان) مانند بیابیم که شامل بوده و از مجزا باشد، علاوه بر این، باز است هرگاه بسته باشد، در صورتی که بسته است هرگاه به طور یکدست رادیان (به ترتیب، به طور یکدست هم رادیان) باشد. هنگامی که این مشخصه سازی هندسی اثبات شود، ارائه مشخصه سازی تحلیلی آن با استفاده از معیار مینکوفسکی محدب یا مقعر امکان پذیر خواهد بود. از این واقعیت شناخته شده بهره خواهیم برد که هر مجموعه ی محدب بسته (باز) که درون آن شامل مبدأ باشد را می توان به عنوان مجموعه ی تراز بالای (به ترتیب، ) یک تابع فوق خطی پیوسته (یا به طور معادل، به عنوان مجموعه تراز پایین یا یک تابع فوق خطی ) مشخصه سازی کرد. توصیف مجموعه های هم رادیان محدب با استفاده از معیار پیوسته به این سادگی نیست و در مرجع [22] بررسی شده است. مهمترین نتایج در فصل 3 ارائه شده است. برای مطالعه ی بیشتر معیارهای مقعر و هم معیارها مراجع [1 و 14 و 16] را ببینید. بخش 3-4 به نتایج اساسی این پایان نامه اختصاص یافته است که عبارت است از نتایج تفکیک برای مجموعه های رادیان و هم رادیان به شکل های هندسی و تحلیلی. همچنین توصیف معادلی از این خواص تفکیک را به صورت انواع متفاوتی از روابط قطبیت بیان می کنیم